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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

IME, Cálculo I, 2019, VE1, Q1B

Calcule ou mostre que não existe (Não use qualquer artifício que envolva derivada).

  1. lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x sin ⁡ x / ( x - sin ⁡ x )

  2. lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x + x x

Passo 1

Falaa, pessoal! Novamente, devemos fazer uso dos limites fundamentais e vamos usar alguns artifícios macaqueados para que surjam tais limites.

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x + x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ 4 x x

A função maior inteiro x (ou função piso como é conhecida) retorna o maior inteiro menor que x , assim para x → 0 + :

x = 0

Logo,

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ 4 x x = lim x → 0 + ⁡ 0 ⋅ ⁡ cos ⁡ x + sin ⁡ x ⋅ 1 x = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x   x = 1

Pelo limite fundamental, ao final.

Passo 2

Enquanto isso, para x → 0 - :

x = - 1

Logo,

lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ 4 x x = sin ⁡ - 4 l i m x → 0 - cos ⁡ x x + cos ⁡ 4 lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x   x =

= sin ⁡ - 4 l i m x → 0 - cos ⁡ x x + cos ⁡ 4                                             ( l i m .   f u n d . )

Contudo, o limite remanescente diverge. Como pela esquerda o limite diverge e a direita converge para 1 , então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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