Calcule o seguinte limite, sem usar a regra de L’Hôpital:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é substituir o ponto do limite:
Ops! Temos uma indeterminação, então precisamos manipular nosso limite para chegar no resultado.
Passo 2
Temos aí um seno num numerador tendendo a zero sobre um polinômio também tendendo a zero. Esse limite parece um limite envolvendo o limite fundamental trigonométrico, então vamos tentar chegar nele.
Vamos inicialmente tentar deixar o que está dentro do seno parecido com o que está no denominador:
Se multiplicarmos e dividirmos por :
Passo 3
Agora que o que está dentro do cosseno é igual ao denominador, podemos fazer a substituição:
Que é justamente o que está dentro do cosseno. Nessas condições, quando , , ficando:
Passo 4
Está bem, mas precisamos transformar isso no limite:
Para tal, podemos explorar o fato de que:
E multiplicar e dividir tudo por para chegar nessa identidade:
Passo 5
Agora podemos chegar no limite fundamental trigonométrico:
Pronto!