Calcule os seguintes limites

(a) lim (x -> 0) (tan(x) / x)

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão é bastante direta, precisamos calcular o limite

l i m x → 0 t a n ( x ) x

Agora, cada limite costuma ser resolvido de uma maneira diferente, esse em particular é uma função trigonométrica dividida por x , isso está gritando para usarmos o limite fundamental do seno, mas para isso, vamos precisar fazer aparecer um seno! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro note que ao substituir x = 0 você obtém simplesmente 0 / 0 então isso é uma indeterminação, se souber e puder usar L’hospital esse é um bom momento, aqui vou fazer manipulando a expressão. Como disse no primeiro passo, precisamos fazer aparecer um seno, vamos usar que

t a n ( x ) = s e n ( x ) c o s ( x )

sendo assim, o limite se torna

l i m x → 0 t a n ( x ) x = l i m x → 0 s e n ( x ) x 1 c o s ( x )

Esse limite pode ser separado como

l i m x → 0 s e n ( x ) x 1 c o s ( x ) = l i m x → 0 s e n ( x ) x l i m x → 0 1 c o s ( x )

o primeiro limite, é o limite fundamental

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

e, o segundo pode ser avaliado diretamente como

l i m x → 0 1 c o s ( x ) = 1

portanto, temos que

l i m x → 0 t a n ( x ) x = ( 1 ) ( 1 ) = 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 t a n ( x ) x = 1

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