Calcule os seguintes limites

(a) lim(x→p) (sen(x) - sen(p)) / (x - p)

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que resolver o seguinte limite

l i m x → p s e n ( x ) - s e n ( p ) x - p

para fazer isso, vamos tentar reescrever um pouco a expressão! Mas, note que esta é a definição de derivada escrita, então temos uma ideia de qual será o resultado final! Vamos tentar verificar isso! Vem comigo!

Passo 2

Vamos tentar fazer a seguinte mudança de variáveis x ' = x - p , de forma que obtemos o limite

l i m x → p s e n ( x ) - s e n ( p ) x - p = l i m x ' → 0 s e n ( x ' + p ) - s e n ( p ) x '

usando que

s e n ( x ' + p ) = s e n ( x ' ) c o s ( p ) + c o s ( x ' ) s e n ( p )

o limite se torna

l i m x ' → 0 s e n ( x ' + p ) - s e n ( p ) x ' = l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) c o s ( p ) + c o s ( x ' ) s e n ( p ) - s e n ( p ) x '

que pode ser dividido em dois limites

l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) c o s ( p ) + c o s ( x ' ) s e n ( p ) - s e n ( p ) x ' = c o s ( p ) l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x ' - s e n ( p ) l i m x ' → 0 c o s ( x ' ) - 1 x '

Em que por sorte, temos dois limites fundamentais, o limite

l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x ' = 1 e l i m x ' → 0 1 - c o s ( x ' ) x ' = 0

note que o sinal trocado no segundo não mudará em nada nosso resultado, já que mudar o sinal para algo que é zero não afeta em nada o sistema! O resultado final é então dado por

l i m x → p s e n ( x ) - s e n ( p ) x - p = c o s ( p )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → p s e n ( x ) - s e n ( p ) x - p = c o s ( p )

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