Calcule os seguintes limites

(c) lim (x → p) (tan(x) - tan(p)) / (x - p)

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que resolver o seguinte limite

l i m x → p t a n ( x ) - t a n ( p ) x - p

Não podemos fazer o mesmo que fizemos nas alternativas anteriores, uma vez que a tangente não é uma função contínua! Mas, vamos tentar trabalhar esse problema usando relações trigonométricas! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, lembramos que

t a n ( x ) = s e n ( x ) / c o s ( x )

portanto, podemos escrever

l i m x → p t a n ( x ) - t a n ( p ) x - p = l i m x → p s e n ( x ) c o s ( x ) - s e n ( p ) c o s ( p ) x - p = l i m x → p s e n ( x ) c o s ( p ) - s e n ( p ) c o s ( x ) c o s ( x ) c o s ( p ) x - p

usando que

s e n ( a - b ) = s e n ( a ) c o s ( b ) - s e n ( b ) c o s ( a )

temos que

l i m x → p s e n ( x - p ) c o s ( x ) c o s ( p ) x - p = l i m x → p 1 c o s ( x ) c o s ( p ) l i m x → p s e n ( x - p ) x - p

se mudarmos a variável para x ' = x - p , temos que

l i m x → p 1 c o s ( x ) c o s ( p ) l i m x → p s e n ( x - p ) x - p = l i m x ' → 0 1 c o s ( x ' + p ) c o s ( p ) l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x ' = 1 c o s 2 ( p )

se lembrarmos o limite fundamental

l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x ' = 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → p t a n ( x ) - t a n ( p ) x - p = 1 c o s 2 ( p )

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