Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de l'Hôspital):

f) lim(z→0) (1 - cos(2z)) / (1 - cos(3z))

Passo 1

Para calcular o limite l i m z → 0   1 - c o s ⁡ ( 2 z ) 1 - c o s ⁡ ( 3 z ) sem usar a regra de l'Hôpital, podemos usar umas propriedades trigonométricas:

cos(2z)=1−2sen²(z)

cos⁡(3z)=1−2sen⁡²(1.5z)

Passo 2

Agora, substituímos essas identidades na expressão original:

l i m z → 0   1 - ( 1 - 2 s e n   ²   ( z ) ) 1 - ( 1 - 2 s e n   ²   ( 1,5 z ) )

Simplificando:

l i m z → 0   2   s e n ²   ( z ) 2 s e n   ²   ( 1,5 z ) )

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do limite trigonométrico:

( l i m z → 0   s e n   ( z ) z ) ² * ( l i m z → 0   s e n   ( 1,5 z ) 1,5 z ) - 2 = 1 *   ( 2 / 3 ) ² = 4 / 9

Resposta

Portanto, o limite l i m y → 0   s i n ⁡ y 2 y s i n ⁡ ( 2 y ) é igual a 4 / 9

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