Calcule, sem usar regra de L’Hôspital, os limites abaixo ou prove que não existe. Justifique suas respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x
  2. lim x → 0 ⁡ x 1 + x - 1 - x
  3. lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1 x 2 + x + 2
  4. Seja g : I R → I R uma função tal que - 2 3 - x 4 ≤ g x + 4 ≤ 2 3 - x 4 para todo x ∈ I R . Usando o teorema do confronto, calcule o limite (e justifique)

lim x → 3 ⁡ g x

Passo 1

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente sempre mas seeeempre checa primeiro os limites substituindo o valor proposto. Se não der indeterminação, tamos feitos! Vamos ter:

  1. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x = sen ⁡ 0 sen ⁡ 0 = 0 0
  2. lim x → 0 ⁡ x 1 + x - 1 - x = 0 1 + 0 - 1 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0
  3. lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1 x 2 + x + 2 = 1 + 1 1 + - 1 1 2 + 1 + 2 = 2 0 + 4 = + ∞

É pessoal, duas indeterminações. Então não tem jeito! Vamos precisar mexer nesses limites das letra a , b até eles ganharem uma forma que suma a indeterminação.

Maaaaas, não vamos precisar fazer o mesmo na letra c . Afinal, não temos uma indeterminação! O limite já está pronto, na mão, e vamos dizer que ele não existe! A gente sempre diz que não existe quando:

  • Ele é incalculável, como por exemplo lim x → ± ∞ ⁡ sin ⁡ x
  • Ele é calculável, porém resulta em ± ∞

Passo 2

Letra a)

Pra letra a ) a macete vai estar em ver que ela é uma função que tem fração de polinômio e função trigonométrica. Quem tem essa cara também é o limite fundamental trigonométrico! Vamos então tentar fazer surgir:

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Pra isso, uma boa ideia, pra fazer o seno aparecer, é multiplicar em cima e em baixo por sen ⁡ 5 x :

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x ∙ sen ⁡ 5 x sen ⁡ 5 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x ∙ sen ⁡ 5 x sen 2 ⁡ 5 x

Ok, mas como isso ajuda? Bem, olha só mais algumas multiplicações espertas. Multiplicando em cima e em baixo por 3 x , temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x ∙ sen ⁡ 5 x sen 2 ⁡ 5 x ∙ 3 x 3 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x ∙ sen ⁡ 5 x ∙ 3 x sen 2 ⁡ 5 x =

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x ∙ 3 x sen 2 ⁡ 5 x

Pô, bacana! Apareceu nosso primeiro limite fundamental trigonométrico. Como ele dá 1 , já dá pra substituir seu valor e aproveitar pra pegar a mesma ideia multiplicando o limtie que sobrar, em cima e em baixo, por 5 x :

= 1 ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x ∙ 3 x sen 2 ⁡ 5 x ∙ 5 x 5 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 5 x ∙ 15 x 2 sen 2 ⁡ 5 x =

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 5 x ∙ lim x → 0 ⁡ 15 x 2 sen 2 ⁡ 5 x

= lim x → 0 ⁡ 15 x 2 sen 2 ⁡ 5 x

Parece que acabou, mas na verdade cabou não, viu? Afinal, substituindo x = 0 aí, continuamos com indeterminação. Mas podemos manter a mesmíssima ideia, agora multiplicando em cima e em baix por 5 x 2 . Saca só a malandragem:

lim x → 0 ⁡ 15 x 2 sen 2 ⁡ 5 x ∙ 5 x 2 5 x 2 = lim x → 0 ⁡ 5 x 2 sen 2 ⁡ 5 x ∙ 15 x 2 5 x 2 =

= lim x → 0 ⁡ 5 x 2 sen 2 ⁡ 5 x ∙ lim x → 0 ⁡ 15 x 2 25 x 2 = lim x → 0 ⁡ 5 x sen ⁡ 5 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 15 25

Com mais uma última manipulação, chegamos em:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 5 x - 2 ∙ 15 25 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 5 x - 2 ∙ 3 5

E olha só quem voltou! O limite fundamental trigonométrico! Substituindo:

= 1 - 2 ∙ 3 5 = 3 5

Ufa! Próxima letra!

Passo 3

Letra b)

Pra letra b) o truque vai ser olhar para as raízes e pensar: humm, se eu me livrar delas, as coisas ficam mais fáceis, né? Então, uma forma de fazermos isso, é multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo:

lim x → 0 ⁡ x 1 + x - 1 - x ∙ 1 + x + 1 - x 1 + x + 1 - x = lim x → 0 ⁡ x 1 + x + 1 - x 1 + x - 1 - x =

Simplificando, temos:

= lim x → 0 ⁡ x 1 + x + 1 - x 1 + x - 1 + x = lim x → 0 ⁡ x 1 + x + 1 - x 2 x

= lim x → 0 ⁡ 1 + x + 1 - x 2

E olha só que doido! Isso já foi o suficiente! Substituindo x = 0 , achamos:

= 1 + 0 + 1 - 0 2 = 1 + 1 2 = 1 + 1 2 = 2 2 = 1

Passo 4

Letra d)

Pra gente fechar com chave de ouro, bora fazer a letra d . Ela nos dá:

- 2 3 - x 4 ≤ g x + 4 ≤ 2 3 - x 4

lim x → 3 ⁡ g x

Um bom primeiro passo então será isolar g x na equação. Pra isso, subtraímos 4 em cada parte dela:

- 2 3 - x 4 - 4 ≤ g x + 4 - 4 ≤ 2 3 - x 4 - 4

- 2 3 - x 4 - 4 ≤ g x ≤ 2 3 - x 4 - 4

Aplicando o limite, temos:

lim x → 3 ⁡ - 2 3 - x 4 - 4 ≤ lim x → 3 ⁡ g x ≤ lim x → 3 ⁡ 2 3 - x 4 - 4

- 2 3 - 3 4 - 4 ≤ lim x → 3 ⁡ g x ≤ 2 3 - 3 4 - 4

- 2 0 4 - 4 ≤ lim x → 3 ⁡ g x ≤ 2 0 4 - 4

- 4 ≤ lim x → 3 ⁡ g x ≤ - 4

E veja só, se o limite está entre - 4 e - 4 , ele só pode ser - 4 . É como se tivéssemos três funções

Onde

f x = - 2 3 - x 4 - 4

h x = 2 3 - x 4 - 4

Se g x está sempre entre esses dois carinhas e eles tem um limite L em comum pra x → a , pra esse mesmo x → a o limite de g x também dará L . Afinal, não tem muito pra onde g x fugir já que ele tem que ficar preso ali entre f , g !

Resposta

Justificativas no decorrer da resolução

Respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x = 3 5
  2. lim x → 0 ⁡ x 1 + x - 1 - x = 1
  3. lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1 x 2 + x + 2 = = + ∞
  4. lim x → - 2 ⁡ g x = - 4

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)