UNICAMP - (Cálculo 1) - P1 2020.1
Calcule, sem usar regra de L’Hôspital, os limites abaixo ou prove que não existe. Justifique suas respostas:
- Seja uma função tal que para todo . Usando o teorema do confronto, calcule o limite (e justifique)
Passo 1
Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente sempre mas seeeempre checa primeiro os limites substituindo o valor proposto. Se não der indeterminação, tamos feitos! Vamos ter:
É pessoal, duas indeterminações. Então não tem jeito! Vamos precisar mexer nesses limites das letra até eles ganharem uma forma que suma a indeterminação.
Maaaaas, não vamos precisar fazer o mesmo na letra . Afinal, não temos uma indeterminação! O limite já está pronto, na mão, e vamos dizer que ele não existe! A gente sempre diz que não existe quando:
- Ele é incalculável, como por exemplo
- Ele é calculável, porém resulta em
Passo 2
Letra a)
Pra letra a macete vai estar em ver que ela é uma função que tem fração de polinômio e função trigonométrica. Quem tem essa cara também é o limite fundamental trigonométrico! Vamos então tentar fazer surgir:
Pra isso, uma boa ideia, pra fazer o seno aparecer, é multiplicar em cima e em baixo por :
Ok, mas como isso ajuda? Bem, olha só mais algumas multiplicações espertas. Multiplicando em cima e em baixo por , temos:
Pô, bacana! Apareceu nosso primeiro limite fundamental trigonométrico. Como ele dá , já dá pra substituir seu valor e aproveitar pra pegar a mesma ideia multiplicando o limtie que sobrar, em cima e em baixo, por :
Parece que acabou, mas na verdade cabou não, viu? Afinal, substituindo aí, continuamos com indeterminação. Mas podemos manter a mesmíssima ideia, agora multiplicando em cima e em baix por . Saca só a malandragem:
Com mais uma última manipulação, chegamos em:
E olha só quem voltou! O limite fundamental trigonométrico! Substituindo:
Ufa! Próxima letra!
Passo 3
Letra b)
Pra letra b) o truque vai ser olhar para as raízes e pensar: humm, se eu me livrar delas, as coisas ficam mais fáceis, né? Então, uma forma de fazermos isso, é multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo:
Simplificando, temos:
E olha só que doido! Isso já foi o suficiente! Substituindo , achamos:
Passo 4
Letra d)
Pra gente fechar com chave de ouro, bora fazer a letra . Ela nos dá:
Um bom primeiro passo então será isolar na equação. Pra isso, subtraímos em cada parte dela:
Aplicando o limite, temos:
E veja só, se o limite está entre e , ele só pode ser . É como se tivéssemos três funções
Onde
Se está sempre entre esses dois carinhas e eles tem um limite em comum pra , pra esse mesmo o limite de também dará . Afinal, não tem muito pra onde fugir já que ele tem que ficar preso ali entre !
Resposta
Justificativas no decorrer da resolução
Respostas: