UNICAMP - (Cálculo 1) - P1 2020.1
Calcule, sem usar regra de L’Hôspital, os limites abaixo ou prove que não existe. Justifique suas respostas:
- Seja uma função tal que para todo . Usando o teorema do confronto, calcule o limite (e justifique)
Passo 1
Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente sempre mas seeeempre checa primeiro os limites substituindo o valor proposto. Se não der indeterminação, tamos feitos! Vamos ter:
É pessoal, duas indeterminações. Então não tem jeito! Vamos precisar mexer nesses limites das letra até eles ganharem uma forma que suma a indeterminação.
Maaaaas, não vamos precisar fazer o mesmo na letra . Afinal, não temos uma indeterminação! O limite já está pronto, na mão, e vamos dizer que ele não existe! A gente sempre diz que não existe quando:
- Ele é incalculável, como por exemplo
- Ele é calculável, porém resulta em
Passo 2
Letra a)
Pra letra a macete vai estar em ver que ela é uma função que tem fração de polinômio e função trigonométrica. Quem tem essa cara também é o limite fundamental trigonométrico! Vamos então tentar fazer surgir:
Pra isso, uma boa ideia, pra fazer o seno aparecer, é dividir em cima e em baixo por termos de . Saca só:
Essa estratégia é legal porque não só começa a preparar terreno pro limite fundamental trigonométrico aparecer, como também elimina o multiplicando as funções trigonométricas que são responsáveis por zerar alguns termos. Agora, sendo:
Vamos ter, manipulando:
Vamos ter, pro limite no numerador:
Aplicando as propriedades do limite, isso é o mesmo que:
Agora pro denominador, vamos ter:
O que, pelas propriedades dos limites, é o mesmo que:
O limite então será:
Ufa! Complicada essa! Bora pra próxima!
Passo 3
Letra b)
Pra letra b) o truque vai ser olhar pra raiz e pensar: humm, se eu me livrar dela, as coisas ficam mais fáceis, né? Então, uma forma de fazermos isso, é multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo:
Galera, olha, não resolvemos o problema ainda. Afinal, o denominador continua zerando quando substituímos e o numerador também. Mas olha só a malandragem:
Opa, isso aí é um trinômio quadrado perfeito! O limite vira:
E agora sim a indeterminação sumiu, quer ver?
Portanto o limite não existe dessa vez!
Passo 4
Letra d)
Pra gente fechar com chave de ouro, bora fazer a letra . Ela nos dá:
Um bom primeiro passo então será dividir a inequação toda por . Assim, ganha a exata cara do limite que o enunciad pede
Aplicando o limite, temos:
E veja só, se o limite está entre e , ele só pode ser . É como se tivéssemos três funções
Onde
Se está sempre entre esses dois carinhas e eles tem um limite em comum pra , pra esse mesmo o limite de também dará . Afinal, não tem muito pra onde fugir já que ele tem que ficar preso ali entre !
Resposta
Justificativas no decorrer da resolução
Respostas: