Calculo 1 – UFPE – 1° EE
Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique)! (NÃO é permitido o uso da regra de L’Hospital).
Passo 1
Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,
Agora sim. Temos uma indeterminação. Isto significa que o ponto é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador! Cabe a nós arrumarmos alguma forma de eliminarmos estas raízes.
PS: Imagina agora que não deu uma indeterminação. Algo tipo . Vocês já comemorariam pois finalizariam a questão neste ponto, nada mais seria feito. Mas como isso não aconteceu... segue o jogo!
Dentre as possíveis opções para eliminarmos estas raízes (isolar variáveis, fatorar polinômios, multiplicar pelo conjugado, etc), o caso que bem se enquadra nesta questão é multiplicar o numerador e o denominador por algum fator (são iguais).
Ao fazermos isto, conseguimos manipular o nosso limite e assim eliminarmos essa indeterminação.
Portanto, para esta letra, vamos começar por multiplicar pelo conjugado do numerador (ao invés do sinal negativo, temos um sinal positivo). Portanto,
Passo 2
Percebam que se substituirmos, ainda continuamos com 0/0. Vejamos só:
Então, temos que continuar operando a nossa função para eliminar esta indeterminação.
Agora, lembram daquela relação fundamental da trigonometria ? Vamos utilizá-la para substituir por . Portanto,
Agora, será se a indeterminação já foi resolvida? Vamos verificar novamente!
Ainda não foi resolvido..... Mas estamos quase lá! Basta reorganizarmos o nosso limite. Utilizando as propriedades (separar no produto de limites), temos:
Aqui nós trabalhamos com as propriedades do limite para separarmos as nossa funções. Este passo é fundamental pra ficar bem claro o limite . Este é um dos limites fundamentais que vocês podem (e devem) decorar a resposta.
Então, se a gente separa, fica claro a resolução da indeterminação do nosso problema. Agora, podemos resolver nosso limite. Portanto, a nossa resposta é:
E assim resolvemos a nossa questão! Percebam que nos só fizemos reorganizar a função para eliminar a indeterminação!