UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 3 – Limite e Continuidade
28. Determine o limite nos seguintes exercícios.
d)
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos calcular o
Pra isso, vamos lembrar da igualdade trigonométrica:
E do limite fundamental:
Também vamos usar as propriedades de limites:
Passo 2
Agora vamos fazer um bocado de manipulações pra usar esse limite fundamental...
Primeiro substituindo a igualdade trigonométrica citada no passo 1:
Agora vamos precisar fazer aparecer o limite fundamental. Repara que podemos multiplicar em cima e embaixo por e por , que aí vai acabar aparecendo, né?
Vamos separar usando as propriedades de limites:
O primeiro limite, quando substituímos :
Então:
Passo 3
Agora vamos precisar fazer aparecer o limite fundamental. Repara que podemos multiplicar em cima e embaixo por e por , que aí vai acabar aparecendo, né?
Agrupando o que for mais parecido com o limite fundamental:
Usando a propriedade de limites:
Passo 4
Resolvendo o primeiro limite, podemos fazer uma substituição de variável:
Quando tende a zero, também tende a zero, né? então vai tender a zero.
O primeiro limite fica:
E esse é o limite fundamental, então:
Portanto:
Passo 5
Resolvendo o segundo limite, podemos fazer uma substituição beeem similar à de cima:
Quando tende a zero, também tende a zero, né? então vai tender a zero.
Daí fica:
Podemos reescrever esse limite como:
Usando a propriedade de limite:
Portanto:
Passo 6
Resolvendo o terceiro limite:
Agora juntando tudo, ficamos com: