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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

O limite trigonométrico fundamental nos diz que lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x . Use essa informação para calcular os limites abaixo.

(c) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x

Passo 1

Fala, meus lindos e lindas 😊. Nessa questão, vamos trabalhar com limites trigonométricos partindo apenas da informação que lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x . Para resolvermos os “desafios” apresentados, nos bastará realizar algumas manipulações matemáticas simples, não temam!!

Letra c:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x

Façamos:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x =   lim x → 0 ⁡ ( cos ⁡ x - 1 x   ×   cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + 1   ) =   lim x → 0 ⁡ cos ² ⁡ x   - 1 x ( cos ⁡ x + 1 )  

Sabemos, pela relação fundamental da trigonometria:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1  

Portanto:

c o s 2 x - 1 = - s e n 2 x  

E então:

lim x → 0 ⁡ cos ² ⁡ x   - 1 x ( cos ⁡ x + 1 )   = lim x → 0 ⁡ - s e n ² ( x ) x ( cos ⁡ x + 1 ) =   lim x → 0 ⁡ - s e n ² ( x ) x     × lim x → 0 ⁡ 1 ( cos ⁡ x + 1 )     = lim x → 0 ⁡ - s e n ( x ) x     ×   lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) c o s x + 1      

= lim x → 0 ⁡ - s e n ( x ) x     ×   s e n ( 0 ) c o s 0 + 1 =       lim x → 0 ⁡ - s e n ( x ) x     ×   0 1 + 1 =   - 1   × 0 = 0

Resposta

c) 0

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