Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira de Cálculo I da UERJ - Lista 3
Encontre uma equação para a reta tangente à curva que seja perpendicular à reta .
Ver solução completaEncontre uma equação para a reta tangente à curva que seja paralela à reta tangente à curva no ponto (1, 2).
Ver solução completaEncontre uma equação para a reta que contém o ponto (−2, 3) e é tangente à curva .
Ver solução completaEncontre uma equação para a reta que contém o ponto (1, 0) e é tangente à curva .
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
a)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
c)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
d)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
f)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
g)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
h)
Ver solução completa18. Considere uma função diferenciável e definida por . Sabendo que e , calcule .
Ver solução completaSuponha que a equação
defina implicitamente .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto.
Ver solução completaUm barco deixa as docas às e navega para o sul a uma velocidade de . Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de e atinge a mesma doca às .
Determine a velocidade de afastamento entre os dois barcos às.
Ver solução completaUm balão esférico está sendo inflado a uma taxa de . Determine a taxa de variação
da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é igual a .
Ver solução completaUm avião está voando com velocidade constante a uma altitude de paralelamente ao solo.
Em um dado instante, um observador situado no solo observa que o ângulo de elevação do avião é de e está aumentando a uma taxa de . Calcule a velocidade do avião.
Ver solução completaDois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de , enquanto os outros dois diminuem de modo que a área desse retângulo permanece constante e igual a . Determine a taxa de variação do perímetro desse retângulo quando o comprimento dos lados que aumentam é ; .
Ver solução completaUm peso está preso a uma das extremidades de uma corda de de comprimento que passa por uma polia situada a acima do solo. A outra extremidade da corda, que se encontra esticada, está presa a um caminhão por um ponto situado acima do solo. Sabendo que o caminhão se afasta horizontalmente a uma velocidade de , determine a taxa de variação da altura do peso no instante em que o mesmo estiver a acima do solo.
Ver solução completaUm reservatório cônico de de profundidade e de diâmetro está recebendo água na razão de . Determine:
a) A taxa de variação da altura do nível da água quando esta estiver a ;
Ver solução completaUm reservatório cônico de de profundidade e de diâmetro está recebendo água na razão de . Determine:
b) A taxa de variação da área da superfície da água quando esta estiver a ;
Ver solução completaUma pipa, situada acima do solo, move-se horizontalmente a . Sabendo que a linha se encontra esticada, determine a taxa de variação do ângulo que essa linha faz com a horizontal no instante em que o comprimento da mesma for de .
Ver solução completaO raio de um cilindro circular reto aumenta com velocidade constante. Sua altura é uma função
afim do raio e aumenta 3 vezes mais rápido do que este, de modo que quando o raio mede , a altura mede . No instante em que o raio mede , o volume aumenta a uma razão de . Determine a taxa de variação do volume no instante em que o raio do cilindro mede .
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
i)
Ver solução completa23. Determine , e reais para que os gráficos das funções e sejam tangentes no ponto .
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
e)
Ver solução completa17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
b)
Ver solução completaDetermine as dimensões do cone circular reto de volume mínimo que pode ser circunscrito a uma esfera de de raio.
Ver solução completaDetermine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível que esteja inscrito em um cone circular reto de volume fixo.
Ver solução completaDetermine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito em um triângulo de de base e de altura, estando um dos lados do retângulo sobre a base do triângulo.
Ver solução completaUm dos lados de um campo retangular é limitado por um trecho de rio em linha reta. Deseja-se
cercar o campo com um fio de comprimento . Determine as dimensões do campo sabendo que a área é a maior possível.
Ver solução completaDetermine os pontos da curva mais próximos do ponto . Calcule a distância mínima.
Ver solução completaUm quadro com de altura está colocado numa parede vertical, sendo que sua base está a acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador está se aproximando da parede a uma velocidade de , determine a taxa de variação da medida do ângulo de visão da pintura no instante em que o observador estiver a da parede.
Ver solução completaUm farol está a de uma praia reta e lança sobre ela um foco de luz. Se o foco gira com velocidade angular de , determine a velocidade com que a luz percorre a praia quando o foco estiver a do ponto da praia mais próximo do farol.
Ver solução completaUma mulher está andando com uma velocidade de ao longo do diâmetro de um pátio
circular. Uma luz, situada no extremo de outro diâmetro perpendicular ao seu caminho, projeta sua sombra sobre a parede circular do pátio. Determine a velocidade com a qual a sombra da mulher estará se movendo ao longo da parede quando a mulher tiver percorrido do diâmetro do pátio.
Ver solução completaDividir o número em duas partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja o
maior possível.
Ver solução completaDeseja-se fazer um cartaz usando uma folha de papel retangular de de área. As margens no topo e na base devem medir e nos lados, . Determine as dimensões dessa folha, sabendo que a área impressa é máxima.
Ver solução completaÀs horas da manhã, um navio encontra-se a a leste de outro navio . O navio navega rumo oeste a , enquanto navega rumo sul a . Considerando que os navios mantenham essas direções, determine a menor distância entre os navios e quando essa distância ocorrerá.
Ver solução completaUma partícula se move ao longo da parábola descrita pela equação . Determine os
pontos da curva nos quais as taxas de variação da abscissa e da ordenada são iguais.
Ver solução completaAs parábolas possuem duas retas tangentes comuns.
Determine as equações dessas retas tangentes.
Ver solução completaUma viga de de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo desliza para baixo a
uma velocidade constante de . Determine a taxa de variação do ângulo agudo formado pela
viga e pelo chão no instante em que o topo da viga se encontra a do chão.
Ver solução completaUm reservatório possui a forma de um cone circular reto com o vértice para baixo, tem de profundidade e de diâmetro. Esse reservatório é esvaziado à razão constante de .
Determine a razão segundo a qual o nível de água está descendo no instante em que a superfície da água está a do topo.
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