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Listas de EDB - Profª Aniura Milanés de Equações Diferenciais B da UFMG - Exercícios de EDB - 2021.1

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Equações Diferenciais B - UFMG

Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( a )   x 2 ∂ 2 y x x u + y 2 ∂ 2 y u - l o g ( 1 + y 2 ) u = 0 ;

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Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( b ) ∂ x u + u 3 = 1 ;

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Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( c )   u ∂ 4 y y x x u + e x ∂ x u = y ;

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Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( d )   u ∂ 2 x u + ∂ 2 y u - u = 0 ;

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Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( e ) ∂ 2 x u + ∂ t u = 3 u ;

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Verifique que as funções u 1 ( x , y ) = y , u 2 ( x , y ) = 2 x y , u 3 ( x , y ) = x 3 - 3 x y 2 , u 4 ( x , y ) = e x s e n ( y ) são soluções da equação de Laplace bidimensional ∂ 2 x u + ∂ 2 y u = 0 . Construa quatro novas soluções desta equação usando o Princípio de Superposição.

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

a )   f x = cos ⁡ x   ,       0 ≤ x ≤ π .

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

b )   f x = x   ,   0 ≤ x ≤ L

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

c )   f x = x 2   ,   0 ≤ x ≤ L

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

d )   f x = x L - x ,               0 ≤ x ≤ L

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

e )   f x = x 3   ,                 0 ≤ x ≤ L

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

f )   f x =   x ,             0 ≤ x ≤ L 2 ; L - x   ,             L 2 ≤ x ≤ L .    

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Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

g )   f x =   s e n π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

a )   f x = s e n x ,     0 ≤ x ≤ π .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

b )   f x = x   ,       0 ≤ x ≤ L .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

c )   f x = x 2 ,         0 ≤ x ≤ L .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

d )   f x = x L - x ,             0 ≤ x ≤ L .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

e )   f x = x 3 ,       0 ≤ x ≤ L .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

f )   f x =   1 ,             0 ≤ x ≤ h ; 0   ,             h ≤ x ≤ π .     com h ∈ ( 0 , π ) .

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Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

g )   f x =   s e n π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

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Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

a ) Se f : - L , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier para todo x satisfazendo - L ≤ x ≤ L ?

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Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

b )   Se f : 0 , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x satisfazendo 0 ≤ x ≤ L ?

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Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

c )   Se f : 0 , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier em cossenos para todo x satisfazendo 0 ≤ x ≤ L ?

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Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40   c m cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0 ° C para todo t > 0 .

Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u ( x , t ) se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1 .

a )   u x , 0 = 50 ,           0 < x ≤ 40 .

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Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40   c m cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0 ° C para todo t > 0 .

Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u ( x , t ) se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1 .

b )   u x , 0 = 0 ,     0 ≤ x < 10 ; 50 ,     10 ≤ x ≤ 30 0 ,     30 < x ≤ 40 .

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Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40   c m cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0 ° C para todo t > 0 .

Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u ( x , t ) se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1 .

a )   u x , 0 = x ,           0 < x ≤ 40 .

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Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40   c m cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0 ° C para todo t > 0 .

Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u ( x , t ) se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1 .

a )   u x , 0 = x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40

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Considere o problema

ED u t - u x x - h u = 0 ,           0 < x < π ,   t > 0 ;

CF u 0 , t = 0 ,     u π , t = 0 ,     t ≥ 0 ;

CI u x , 0 = x π - x ,             0 ≤ x ≤ π

Onde h é uma constante real.

a ) Encontre a solução deste problema.

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Considere o problema

ED u t - u x x - h u = 0 ,           0 < x < π ,   t > 0 ;

CF u 0 , t = 0 ,     u π , t = 0 ,     t ≥ 0 ;

CI u x , 0 = x π - x ,             0 ≤ x ≤ π

Onde h é uma constante real.

b )   A condição inicial é satisfeita?

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Considere o problema

ED u t - u x x - h u = 0 ,           0 < x < π ,   t > 0 ;

CF u 0 , t = 0 ,     u π , t = 0 ,     t ≥ 0 ;

CI u x , 0 = x π - x ,             0 ≤ x ≤ π

Onde h é uma constante real.

c )   Determine para quais valores de h existe l i m ⁡ u ( x , t ) quando t → ∞ , para todo x ∈ R .

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Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X   e   T para obtermos soluções fatoradas da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) .

d t u =   d 2 x u - 3 d x u

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Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X   e   T para obtermos soluções fatoradas da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) .

d 2 x u + d 2 y u = 0

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Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X   e   T para obtermos soluções fatoradas da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) .

d t u = k d 4 x u

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Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X   e   T para obtermos soluções fatoradas da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) .

d 2 t u = c 2 d 2 x u ;   c > 0

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O aluno X acha que entendeu o princípio de superposição e faz o seguinte raciocínio:

Como v ( x ,   y )   =   x é solução da equação de Laplace bidimensional, então

w ( x ,   y )   =   x v ( x ,   y )   =   x 2

também é.

Mas a aluna Y substitui a função w na equação e obtém o seguinte.

d 2 x w = 2   ,   d 2 y w   =   0   →   d 2 x w + d 2 x w = 2

Ou seja, w não é solução da equação. Qual o erro de raciocínio de X

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Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor

d t u   =   2 d 2 x u

que se anulam quando x   =   0 e quando x   =   3 .

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

a )   u x , y = x + y ,     ∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 ;

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

b )   u x , t = x 2 + 2 t ,     ∂ x 2 u = ∂ t u ;

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

c )   u x , y = s e n x cosh ⁡ y ,     ∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 ;  

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

d )   u x , t = s e n x - c t ,     ∂ t 2 u - c 2 ∂ x 2 u = 0 , onde c é uma constante.

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

e )   u x , y = f x + g y , ∂ 2 u ∂ y ∂ x = 0 ,   onde f e g são funções arbitrárias;

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Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

f )   u x , y = f x + y + g x - y ,     ∂ x 2 u - ∂ y 2 u = 0 ;   onde f e g são funções arbitrárias.

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Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

a )   ∂ x u = 3 x 2 + y 2 ,     u = u x , y

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Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

b )   ∂ z y x 3 u = 1 ,     u = u ( x , y , z )

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Verifique que as funções u x , t = x e v x , t = x 2 + 2 t satisfazem a equação do calor.

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Se u x , t = x e v x , t = x 2 + 2 t são soluções da equação do calor, como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?

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Escreve a forma geral das EDP’s lineares de segunda ordem com função incógnita u = ( x , y ) . Quando a equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?

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Verifique que para cada n ∈ N , a função:

u n x , t = e - n π L 2 k t s e n n π L x

Satisfaz a equação do calor ∂ t u = k ∂ x 2 u .

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Verifique que a única função da forma X x = c 1 + c 2 x satisfazendo X 0 = X L = 0 é a função nula, calculando os coeficientes c 1 e c 2 e concluindo que eles devem ser nulos.

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Verdadeiro ou falso? Justifique.

a )   A série de Fourier da função 2 f ( x ) é obtida multiplicando cada termo na série de Fourier de f ( x ) por 2 .

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Os coeficientes de Fourier de f x + g ( x ) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f ( x ) e de g ( x ) .

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Os coeficientes de Fourier de f x ⋅ g ( x ) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f ( x ) e g ( x ) .

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Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.

  1.   f ( x )   =   s e n ( x )   −   c o s ( 15 x ) ,   − π   ≤   x   ≤   π ;

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Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.

(b)   f ( x )   =   s e n 3 ( x ) ,   − π   ≤   x   ≤   π ;

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Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.

(c)   f ( x )   =   c o s ( π x )   s e n ( π x ) ,   − 1 ≤   x   ≤   1 ;

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Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.

(d)   f ( x )   = s e n ( x ) [ s e n ( x )   +   c o s ( x ) ] 2 ,   − π   ≤   x   ≤   π ;

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Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( a ) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier estudado nesta semana.

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Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( b ) Em quais pontos x do intervalo [ - L , L ] vale que f ( x ) = S f ( x ) ?

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Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( c ) Esboce o gráfico de S f ( x ) no intervalo [ - 3 L , 3 L ]

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Considere a igualdade

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2 c o s ( n x ) = | x |

Para quais valores de x ela é válida? Porquê?

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

( a )   f ( x ) = x 6

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

( b )   f ( x ) = e x

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

( c )   f ( x ) = x 2 + 11 x 3

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

( d )   f ( x ) = 1 x

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

( e )   f ( x ) = 1 1 + x 2

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Verifique as igualdades

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   . �� .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   . ; (1)

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m ; (2)

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m   ; (3)

e

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L   ; (4)

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   . (5)

utilizando as identidades trigonométricas a seguir

c o s 2   ( α )   =   1   +   c o s ( 2 α ) 2 ;   (6)

s e n 2   ( α )   =   1   -   c o s ( 2 α ) 2 ;   (7)

s e n ( α )   c o s ( β )   =   s e n ( α   +   β )   +   s e n ( α   −   β )   2   ; (8)

s e n ( α )   s e n ( β )   =   c o s ( α   -   β )   -   c o s ( α   +   β )   2   ; (9)

c o s ( α )   c o s ( β )   =   c o s ( α   +   β )   +   c o s ( α   −   β )   2   . (10)

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Considere a equação diferencial ordinária

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0 .

Determine os valores de λ ∈ ℝ para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0 .

( a )   X ' ( 0 ) = 0 , X ( L ) = 0 .

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Considere a equação diferencial ordinária

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0 .

Determine os valores de λ ∈ ℝ para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0 .

( a )   X ( 0 ) = 0 , X ' ( L ) = 0 .

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( a ) Utilize o item ( b ) do exercício anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema

ED ∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

CF u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

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( b ) Descreva uma interpretação física possível para o problema acima.

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( c ) Resolva o problema se f ( x ) = ∑ n = 0 N d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ] para algum inteiro N ≥ 0 .

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( d ) Você conseguiria resolver o problema se f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ] ?

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Determine a solução do problema de condução do calor

E D   ∂ t u = 3   ∂ 2 x u ,   0 < x < 40 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0 , u ( 40 , t ) = - 40 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = 0 ,   0 < x < 40 .

A solução obtida satisfaz a condição inicial?

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Determine a solução estacionária do problema de condução do calor

E D   ∂ t u = ∂ x 2 u - ∂ x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x < 1 .

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Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 3   ∂ 2 x u ,   0 < x < π ,   t > 0 ;

C F   u x ( 0 , t ) = 4 , u x ( π , t ) = 4 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = s e n ( 4 x ) ,   0 < x < π .

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Determine a solução de

E D   ∂ t u = 2   ∂ 2 x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 1 , u x ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = x + s e n ( 3 π 2 x ) + 1 ,   0 < x < 1 .

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Resolva o problema

E D   ∂ t u = k   ∂ 2 x u ,   0 ≤ x ≤ L ,   t ≥ 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = d , u x ( L , t ) = c ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = c x + d ,   0 ≤ x ≤ L .

onde c e d são constantes dadas.

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(a)   f ( x )   =   3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) ,   g ( x ) = 0 .  

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(b)   f ( x )   = 0 ,   g ( x ) = 1 2 s e n ( 2 π L x ) .  

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(c)   f ( x )   = 3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) ,   g ( x ) = 1 2 s e n ( 2 π L x ) .  

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(d)   f ( x )   =     s e n 3 ( π L x ) ,   g ( x ) = 0 .  

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(e)   f ( x )   = 0 ,   g ( x ) = s e n ( π L x ) c o s 2 ( π L x ) .  

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Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(f)   f ( x )   = 3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) ,   g ( x ) = 1 2 s e n ( 2 π L x ) .  

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Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

a )   f ( x ) = 4   s e n ( 2 π x 3 ) - s e n ( 5 π x 3 )

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Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

b )   f ( x ) = 5   s e n ( 4 π x ) + 2 s e n ( 10 π x )

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Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

c )   f ( x ) = - 9   c o s [ π 6 ( 2 x + 3 ) ]

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Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

d )   f ( x ) = 3   c o s ( 8 π x 3 + π 2 ) - 3 c o s ( 8 π x 3 - π 2 ) + s e n ( 5 π x )

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Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

a ) Esta EDP é não linear. Explique porquê.

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Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

b ) Verifique que as funções u 1 ( x , y ) = e x e u 2 ( x , y ) = e y são soluções desta equação.

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Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

c ) Verifique que para constantes arbitrárias c 1 e c 2 , as funções c 1 u 1 e c 2 u 2 também são soluções da equação.

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Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

d ) Comprove que u = u 1 + u 2 não é solução da equação. Sugestão: Verifique que ∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = ( ∂ x u - u ) ( ∂ y u - u )

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Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

e ) Prove que u = c 1 u 1 + c 2 u 2 será solução somente se c 1 = 0 ou c 2 = 0 .

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O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( a ) Se u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima, qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?

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O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( b ) Para quais valores de λ esse problema tem solução? Determine essas soluções.

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O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( c ) Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de separação de variáveis.

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( a )   f ( x ) = x ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( b )   f ( x ) = 3 x + 1 ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( c )   f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( d )   f ( x ) = x 2 ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( e )   f ( x ) = x 3 ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( e )   f ( x ) = x 3 - L 2 x ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( g )   f ( x ) = x   c o s ( π x / L ) ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( h )   f ( x ) = e x ,   - L ≤ x ≤ L ;

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Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [ - π , π ] .

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Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [ - π , π ] .

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Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [ - π , π ] .

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As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?

(f)   f ( x )   = x   c o s   x ;

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Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [ - π , π ] , obtenha sua série de Fourier e esboce seu gráfico no intervalo [ - 3 π , 3 π ] .

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Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [ - π , π ] , obtenha sua série de Fourier e esboce seu gráfico no intervalo [ - 3 π , 3 π ] .

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Assumindo que f e f ' estão definidas em [ - L , L ] , verifique que f ' é ímpar se f é par e viceversa.

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Verifique que para qualquer valor de λ , a função u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x ) satisfaz a equação da onda unidimensional ∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u .

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Utilize a identidade c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ] para escrever u como superposição de ondas viajando à esquerda e à direita com velocidade c .

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Qual é a relação da fórmula que você obteve com a fórmula na solução geral?

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

a )   f x = x 2 ,   g x = x .

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

b )   f x = e - x 2 ,   g x = 2 c x e - x 2 .

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

c )   f x = 0 ,     g x = 1 .

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

d )   f x = 1 ,     g x = 0 .

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

e )   f x = s e n   x ,     g x = c ⋅ cos ⁡ x .

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Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

f )   f x = 0 ,     g x = s e n 2 x

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Verifique que todas as funções u que sejam polinômios de x e y de primeira ordem satisfazem a equação de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas).

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Verifique que qualquer função de forma u x , y = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 x y satisfaz a equação de Laplace. Aqui c 0 ,   c 1 ,   c 2 e c 3 são constantes arbitrárias.

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Determine condições sobre as constantes a , b e c para que o polinômio homogêneo de segunda ordem u x , y = a x 2 + b x y + c y 2 satisfaça a equação de Laplace.

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Sejam u 1 e u 2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

a ) Prove que c 1 u 1 + c 2 u 2 também é uma função harmônica para quaisquer c 1 ,   c 2 ∈ R .

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Sejam u 1 e u 2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

b ) Se u é harmônica, prove que x u ( x , y ) é harmônica, se e somente se, u x , y = a y + b , para a e b constantes.

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Sejam u 1 e u 2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

c ) Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.

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Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função u x , y = - 1 + x y no quadrado unitário 0,1 2 .

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Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

a )   F ( θ ) = a , com a constante.

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Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

b )   F ( θ ) = 1 + 2   c o s ( θ ) + c o s ( 2   θ )

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Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

c )   F ( θ ) = c o s 2 ( θ )

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Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

d )   F ( θ ) = θ 2

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Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].

( a )   f ( x )   =   s e n   x

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Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].

( b )   f ( x )   =   s e n 3   x

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Seja

( a ) Calcule a transformada de Fourier f .

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Seja

( b ) Qual relação deve haver entre a e b para que a parte imaginária de f ^ ( ω ) valha zero para qualquer calor de ω ?

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Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão

∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x .

Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?

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Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

( a )   e - ( x + 4 ) 2

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Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

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Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

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Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

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Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

( a )   e - ω 2

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Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

e - | ω |

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Resolva o problema

E D     ∂ t u = 3 ∂ x 2 u ,       0 ≤ x ≤ 3 ,   t ≥ 0 ;

                    C F     ∂ x u 0 , t = 0 ,       ∂ x u 3 , t = 0 ,       t ≥ 0 ;                     C I   u x , 0 = f x ,         0 ≤ x ≤ 3

no caso seguinte:

a )   f x = 1 3 - 4 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 cos ⁡ 5 π 3 x .

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Resolva o problema

E D     ∂ t u = 3 ∂ x 2 u ,       0 ≤ x ≤ 3 ,   t ≥ 0 ;

                    C F     ∂ x u 0 , t = 0 ,       ∂ x u 3 , t = 0 ,       t ≥ 0 ;                     C I   u x , 0 = f x ,         0 ≤ x ≤ 3

no caso seguinte:

b )   f x = - 13 cos ⁡ π x + 25 cos ⁡ ( 2 π x ) .

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Resolva o problema

E D     ∂ t u = 3 ∂ x 2 u ,       0 ≤ x ≤ 3 ,   t ≥ 0 ;

                    C F     ∂ x u 0 , t = 0 ,       ∂ x u 3 , t = 0 ,       t ≥ 0 ;                     C I   u x , 0 = f x ,         0 ≤ x ≤ 3

no caso seguinte:

c )   f x =   - s e n 2 2 π 3 x

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Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma

u x , t = e - α 2 k t c 1 e α x + c 2 e - α x que satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.

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Uma barra metálica de comprimento L = 1 com constante de difusividade térmica k = 1 é isolada termicamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é u x , 0 = f ( x ) onde:

f x =   1 ,     0 ≤ x ≤ 1 4 - 4 x + 2 ,     1 4 ≤ x ≤ 3 4 - 1 ,     3 4 ≤ x ≤ 1

Escreva a expressão da temperatura no instante t .

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Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda com a situação física descrita acima.

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Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

b ) Determine que condições de fronteira deve satisfazer X ( x ) para que uma solução fatorada u x , t = X x T ( t ) da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.

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Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

c) Qual seria a maior dificuldade para resolver o problema em ( a ) ?

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Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).

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Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

a) f x = x L - x ,       g x = 0 .

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Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

b) f x = 0 ,     g x = x ⋅ cos ⁡ x ,   L = π 2 .

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Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

c) f x = s e n π x L ,   g x = x ( L - x ) .

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Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

d) L = 1 ,   g x = 2 ,   f x = 0 ,                       0 ≤ x ≤ 1 3 ; 1 30 x - 1 3 ,                         1 3 ≤ x ≤ 2 3 1 30 1 - x ,                         ��   2 3 ≤ x ≤ 1

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Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

e) L = 1 ,   g x = 1 ,       f x = 4 x ,     0 ≤ x ≤ 1 4 ; 1 ,         1 4 ≤ x ≤ 3 4 4 1 - x ,       3 4 ≤ x ≤ 1

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2022.2