Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins de Cálculo 1 da UNICAMP - Lista sobre Derivadas

Qual a reta tangente à reta no ponto ?

Se , qual é o coeficiente angular da reta tangente no ponto ?

Refaça a Q10 de matemática da 2a fase do vestibular Unicamp 2021.

Mostre que se é constante, então para todo o domínio de .

Mostre que não é derivável em .

Calcule as derivadas das funções abaixo (nos pontos em que elas existem):

, com

Se e , calcule .

Se e , calcule .

Calcule o que se pede:

com

com

e com

Calcule onde for possível e verifique se existe , onde:

Existe algum ponto do gráfico de onde a reta tangente é paralela à reta ?

Os gráficos de e admitem retas tangentes paralelas (possivelmente em pontos distintos)? Dê exemplos

Existe algum ponto do gráfico de que tem reta tangente paralela à reta ?

Se , calcule .

Se , calcule .

Calcule a reta tangente ao gráfico de no ponto . Faça um esboço.

Existe algum ponto do gráfico de cuja reta tangente é paralela à reta ?

Verifique se a função

Tem derivada em .

Calcule a derivada das funções abaixo:

Calcule a derivada das funções abaixo:

Calcule a derivada das funções abaixo:

c)

Relembre a derivada das funções trigonométricas.

Calcule as derivadas de:

Calcule as derivadas de:

b)

Calcule as derivadas de:

c)

Calcule as derivadas de:

d)

Calcule as derivadas de:

e)

Calcule as derivadas de:

f)

Determine, se existirem, os valores de para que a função

Seja derivável em .

Determine, se existirem, os valores de para que a função

Seja derivável em .

Calcule as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem das funções abaixo:

Calcule as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem das funções abaixo:

b)

Calcule as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem das funções abaixo:

c)

Calcule a 2021-ésima derivada das funções

a)

Calcule a 2021-ésima derivada das funções

b)

Calcule a 2021-ésima derivada das funções

c)

Calcule e no caso .

Calcule as derivadas e das funções a seguir:

Calcule as derivadas e das funções a seguir:

b)

Calcule as derivadas e das funções a seguir:

c)

Calcule as derivadas e das funções a seguir:

d)

Calcule as derivadas e das funções a seguir:

e)

Derive:

Derive:

b)

Derive:

c)

Derive:

d)

Seja uma função duas vezes derivável e . Calcule sabendo que e .

A função

e

é da classe

Determine uma função que satisfaça à relação

A função é derivável e satisfaz à equação

Calcule

Seja dada implicitamente por . Suponha que seja derivável.

Calcule e a reta tangente ao gráfico de no ponto .

Uma escada com de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da

escada desliza afastando-se da parede a uma taxa de , quão rápido o topo da escada

está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a da parede

(medido no chão)?

Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio e

altura igual a . Se a água está a sendo bombeada para o tanque a uma taxa de ,

encontre a taxa na qual o nível da água está a aumentando quando a água estiver com

de profundidade.

Calcule a derivada de.

Se então existe? Se sim, calcule

Seja , com . Se é a inversa de , mostre que

Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de

Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de

Faça alguns exemplos ilustrando o seguinte resultado: seja uma função contínua no intervalo .

Parte 1: Se para todo então será crescente em

Faça alguns exemplos ilustrando o seguinte resultado: seja uma função contínua no intervalo .

Parte 2: Se para todo então será decrescente em

Usando a aproximação , estime

Encontre uma fórmula parecida com a anterior para estimar

Calcule o polinômio de Taylor das funções até ordem no ponto . Quem é maior ?

Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Esboce o gráfico de

Esboce o gráfico de

Uma mosca está num arco de parábola . Descreva a parte desse arco no qual a mosca pode ficar a fim de não ser vista por um observador em .

Determine o retângulo de maior área e lado paralelos aos eixos coordenados que está inscrito na elipse .

Determine uma reta tangente ao gráfico de de modo que a distância da origem até seja a menor possível.

Um fazendeiro tem de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes e com lados medindo e . Quais devem ser as dimensões dos galpões de modo a maximizar a área total cercada?

Um ponto se move na parábola conforme passa o tempo. Seja as coordenadas do ponto num tempo . Suponha que e são deriváveis e que . Em que ponto da parábola a velocidade da projeção do eixo é o triplo da velocidade da projeção do eixo ?

Um reservatório de água no formato de um cone circular reto (vértice em baixo) está sendo enchido a uma taxa de . O vértice está a metros do topo e o raio do topo é de metros. Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que ( medindo de baixo para cima)?

Esboce o gráfico .

Calcule o limite

Se para e para , determine se existem tais que seja diferenciável em .

Uma lata cilíndrica sem topo é feita para receber de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal usado para fazer a lata.

Esboce o gráfico de , com . Quais são os valores máximos e mínimos globais desta função?

Calcule

Calcule , se

Calcule:

a)

, se

Calcule:

b)

Calcule:

c)

, onde

Mostre que se e são funções diferenciáveis em e contínuas em , com para todo , então existe uma constante tal que para todo .

Obtenha sabendo que .

Determine a equação da reta tangente à elipse no ponto .

Mostre que é um ponto crítico da função , com . É verdade que esta função tem um ponto máximo ou mínimo em ? Explique!

Determine o valor de para que a equação admita uma única raiz real.

Dado o triângulo retângulo de catetos e , determine o retângulo de maior área que está inscrito no triângulo de modo que um dos lados está contido na hipotenusa.

Calcule

Calcule

As funções abaixo tem máximos/mínimos locais:

a)

Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Calcule, caso existam, os seguintes limites:

b)

Calcule uma aproximação para que seja correta até a casa decimal.

Aproxime usando polinômios de Taylor de de ordem e .

Físicos gostam de trocar por em todos os lugares. Suponha que você é um físico que sabe matemática e justifique esse seu comportamento, explicando sua validade para valores bem pequenos de . Qual o erro que você comete quando faz essa troca para .

Estude máximos e mínimos locais de:

Estude máximos e mínimos locais de:

Determine:

O número real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mínima.

Determine:

o ponto da curva que está mais próximo da origem.

Determine:

o valor de que minimiza a expressão

Prove o Teorema de Ana Lin: seja uma função contínua em e diferenciável em . Seja o único ponto crítico de nesse intervalo e suponha que a função tenha um mínimo local em . Então a função tem um mínimo global em .

Determine máximos e mínimos locais e globais de no intervalo

Estude a concavidade e esboce os gráficos de:

Estude a concavidade e esboce os gráficos de:

Seja Que condições devem satisfazer para que seja um ponto de inflexão?

Esboce o gráfico de .

Calcule

Calcule usando o Teorema de L’Hopital.

Determine as dimensões do cilindro circular reto de área total (incluindo as tampas) que tem volume máximo.

Calcule os limites abaixo:

Calcule os limites abaixo:

Calcule os limites abaixo:

Calcule os limites abaixo:

Seja

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de , e os seus pontos de máximo e mínimo.

Seja

(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Seja

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .

Seja

(d) Seja . Existe solução para a equação ? Justifique.

Seja

(e) Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

Faça o que se pede em cada item, indicando claramente a(s) propriedade(s) utilizada(s) durantes os respectivos cálculos:

(a) Sendo , obtenha

Faça o que se pede em cada item, indicando claramente a(s) propriedade(s) utilizada(s) durantes os respectivos cálculos:

(b) Calcule

Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a . Encontre todos os pontos sobre a curva dada pela equação

nos quais a inclinação da reta tangente à curva é igual a .

Seja

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de , e os seus pontos de máximo e mínimo.

Seja

(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Seja

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .

Seja

(e) Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

Calcule os limites abaixo:

(a)

Calcule os limites abaixo:

(b)

Determine os pontos sobre a parábola que estão mais próximos e distantes do ponto para . Qual é a menor distância? E a maior distância? Faça um desenho representando todos os pontos envolvidos.

Considere a curva dada pela equação

(a) Mostre que o ponto pertence à curva.

Considere a curva dada pela equação

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto .

Avalie os limites abaixo e encontre seus valores caso existam:

(a)

Avalie os limites abaixo e encontre seus valores caso existam:

(b)

Considere a curva definida pela equação .

(a) Calcule .

Considere a curva definida pela equação .

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Encontre o ponto sobre a curva (definida para ) que está mais próximo da origem.

Seja

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de , e os seus pontos de máximo e mínimo.

Seja

(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Seja

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .

Seja

(d) Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

Calcule a derivada de

Esboce o gráfico da função

.

Esboce o gráfico da função

.

Para que valores de a função

.

satisfaz as hipóteses do TVM no intervalo [0, 2]?

Calcule , se .

Calcule , se .

Calcule

As funções abaixo têm máximos/mínimos locais?

b.

As funções abaixo têm máximos/mínimos locais?

c.

Encontre a equação da reta tangente `a curva de equação no ponto (1, −1).

Um galpão deve ser construído com uma área retangular de . E necessário que haja um recuo de 25 m na frente, 15 m na parte traseira e 5 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote de área mínima na qual tal galpão pode ser construído. Faça um esboço da situação.