Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins de Cálculo 1 da UNICAMP - Lista sobre Integrais

Calcule as primitivas das funções abaixo:

a)

Calcule as primitivas das funções abaixo:

b)

Calcule as primitivas das funções abaixo:

c)

Calcule as primitivas das funções abaixo:

d)

Calcule as primitivas das funções abaixo:

e)

Encontre uma função tal que .

Encontre uma função tal que e .

1.4. Calcule as integrais abaixo (usando linearidade ou diretamente):

(a)

1.4. Calcule as integrais abaixo (usando linearidade ou diretamente):

(b)

1.5. Calcule as integrais abaixo usando substituição (inverso da regra da cadeia para derivadas):

(a)

1.5. Calcule as integrais abaixo usando substituição (inverso da regra da cadeia para derivadas):

(b)

1.6. Calcule

1.7. Use uma substituição trigonométrica para calcular . Dica: represente como uma função envolvendo a partir da fórmula de prostaférese para calcular e da identidade trigonométrica fundamental.

1.8. Calcule

Dica: use o método mágico de multiplicar e dividir o integrando por e depois use substituição.

1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(a) .

1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(b) .

1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(c) .

Encontre a fórmula fechada para

a)

Encontre a fórmula fechada para

b)

Encontre a fórmula fechada para

c)

Encontre a fórmula fechada para

d)

Calcule

usando integrais de Riemann (escolha uma partição, pontos e calcule )

Descreva o limite que calcula

E prove que

2.4. Qual o valor da área limitada entre os gráficos de e ?

2.5. Calcule o valor da menor área limitada entre as curvas e com .

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(a)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(b)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(c)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(d)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(e)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(f)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(g)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(h)

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(i)

2.7. Calcule

(Dica: a função é ímpar, pense no seu gráfico e na área abaixo dele)

3.1. Se , calcule .

3.2. Calcule , onde

3.3. Calcule usando integração por partes. Mostre o que acontece se você não fizer uma boa escolha inicial de e .

3.4. Calcule as integrais:

(a)

3.4. Calcule as integrais:

(b)

3.4. Calcule as integrais:

(c)

3.4. Calcule as integrais:

(d)

3.5. Calcule a área entre as curvas e . Faça um esboço da situação.

3.6. Calcule as integrais abaixo:

(a)

3.6. Calcule as integrais abaixo:

(b)

3.6. Calcule as integrais abaixo:

(c)

3.6. Calcule as integrais abaixo:

(d)

3.7. Agora resolva estas daqui:

(a)

3.7. Agora resolva estas daqui:

(b)

3.7. Agora resolva estas daqui:

(c)

3.7. Agora resolva estas daqui:

(d)

3.7. Agora resolva estas daqui:

(e)

3.8. Calcule . Dica: escreva e fa��a .

4.2. Explique como você resolve uma integral do tipo

4.3. Explique como você resolve uma integral do tipo no caso em que é par ou então é ímpar. Explique de duas formas: (i) usando a identidade trigonométrica que envolve e e (ii) fazendo a simplificação e . Se e , seu método funciona?

4.4. Calcule .

4.5. Calcule

4.6. Calcule

4.7. Calcule e explique por que que esta integral pode ser usada para calcular a área do círculo unitário.

4.8. Calcule a integral indefinida , lembrando que a resposta deve depender de .

Calcule

Calcule

Calcule

Calcule

Calcule

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

Calcule o volume da esfera de raio usando dos métodos que vimos na aula

Seja a a região limitada entre os gráficos e . Seja o sólido obtido girando esta região em torno do eixo . Qual o volume de ?

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Encontre o volume do solido obtido pela rotação da região delimitada por baixo pelo gráfico de e por cima pela curva , em torno do eixo . Esboce a região, o sólido obtido e uma ‘seção’ típica

Encontre o volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo da região entre as curvas e . Esboce o solido e a região

Seja , com . Calcule o valor médio de e encontre uma boa aproximação para tal que . (ou seja, determine a altura do

caixote que usaremos para guardar a região abaixo do gráfico de ).

Descreva o solido cujo volume é calculado pela integral

Calcule o volume do sólido obtido quando fazemos a rotação no eixo da região entre o gráfico de e o eixo , com ].

Encontre tal que , onde

Calcule

Calcule

Seja e calcule

Calcule as integrais

Calcule as integrais

Calcule as integrais

Calcule .

Calcule .

Mostre que .

Calcule . (*Antes de resolver, procure memes sobre esta integral na internet, existem alguns ótimos.*)

Determine a convergência de e, caso seja convergente, determine seu valor.

Determine se converge ou diverge, se convergir, determine seu valor.

Mostre que a integral converge.

Mostre que a integral converge.

Determine se converge ou diverge.

Determine se converge ou diverge.

7.1. Calcule a integral

9.1. Verifique se a integral converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu valor.

Calcule

Calcule

Calcule

9.3 Calcule , com .

9.4. Seja . Mostre que é de classe (ou seja, tem derivada contínua) e calcule .

9.5 Seja definida para . Mostre que é crescente.

9.6 Seja Calcule .

9.8 Seja

a) Para e , escreva a expansão de em frações parciais (não precisa calcular os coeficientes).

9.8 Seja

b) Para , e , calcule .

9.11. Verifique se é convergente ou divergente.

10.1 Seja . Encontre e .

10.2 Calcule as integrais

a)

10.2 Calcule as integrais

b)

10.2 Calcule as integrais

c)

10.3 Avalie a convergência da integral imprópria

Caso seja convergente, calcule seu valor.

10.4 Seja a região limitada por e por , com .

a) Calcule a área de .

10.4 Seja a região limitada por e por , com .

b) Seja o sólido gerado pela rotação de em torno do eixo . Calcule o volume de .

10.4 Seja a região limitada por e por , com .

c) Seja o sólido gerado pela rotação de em torno do eixo . Qual o volume de ?

10.5 Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique as verdadeiras e corrija adequadamente as falsas.

a) A integral

Calcula a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo , com .

10.5 Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique as verdadeiras e corrija adequadamente as falsas.

b) Se , então .

10.5 Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique as verdadeiras e corrija adequadamente as falsas.

c) se , então .

10.6

a) Escreva a decomposição em frações parciais de

Você não precisa calcular os valores das constantes, somente exibir como será a composição.

10.6

b) A integral

Resulta numa expressão da forma

Onde é a constante de integração. Determine os valores de .

11.1 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

a)

10.7 Decida se a integral

É convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.

9.7 Seja a região entre os gráficos de e . Seja o sólido obtido girando em torno do eixo e o sólido obtido girando em torno do eixo . Calcule os volumes de e de.

9.9 Verifique se é convergente ou divergente. Caso seja convergente, você consegue estimar o valor desta integral?

9.12. Seja definida por se e se . Esboce o gráfico de

9.13. Resolva as integrais abaixo:

a)

9.13. Resolva as integrais abaixo:

b)

9.13. Resolva as integrais abaixo:

c)

10.8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região limitada pelas curvas e .

11.1 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

b)

11.1 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

c)

11.2

a) Calcule , onde .

11.2

b) Obtenha a equação da reta tangente à curva dada por no ponto .

11.3 Calcule as integrais abaixo:

a)

11.3 Calcule as integrais abaixo:

b)

11.3 Calcule as integrais abaixo:

c)

11.4 Seja a região limitada pelos gráficos de e para e o sólido obtido pela revolução desta área em torno do eixo .

a) Calcule a área de

11.5 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

a)

11.5 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

b)

11.5 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

c)

11.7 Calcule as integrais abaixo:

a)

11.7 Calcule as integrais abaixo:

b)

11.7 Calcule as integrais abaixo:

c)

11.8 Seja a região limitada pelo eixo e pelo gráfico de , com . Seja o sólido obtido ao girarmos em torno do eixo . Encontre a área de e o volume de .

12.1 Calcule sem usar integração por partes dezenas de vezes.

Substituições trigonométricas e frações parciais

Calcule (inicialmente escolha os valores de )

Substituições trigonométricas e frações parciais

Calcule

Frações parciais mais complicadas, comprimento de arco e volume

Encontre a decomposição em frações parciais da integral

A integral é equivalente a uma certa integral de uma fração racional. Qual é esta integral?